| METODO |
La geometría
se propone ir más allá de lo alcanzado por
la intuición, entonces es necesario un método
riguroso (que no permita deslices). Para conseguirlo,
se diferencian tres tipos de enunciados: los axiomas,
las
definiciones y los teoremas.
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| AXIOMAS |
Los axiomas son proposiciones,
o afirmaciones, que relacionan conceptos. Excepto
el punto, la recta y el plano, todo otro concepto
que se enuncie debe ser definido en función
de los primeros. Nótese que éstos
sólo afirman cosas terriblemente obvias.
Para facilitar su estudio se
distinguen cinco grupos de axiomas:
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| Existencia,
e Incidencia. |
Son
aquellos que nos aseguran las condiciones de
existencia de los puntos, rectas y planos. (sin
estos no podríamos empezar a trabajar)
y tambíen nos indican cómo inciden
unos conceptos en los otros. Existen infinitos
puntos, existen infinitos planos (que son conjuntos
parciales e infinitos de puntos), también
existen infinitas rectas (que también
son conjuntos parciales e infinitos de puntos
de un plano).
Para determinar una recta, son
necesarios dos puntos (y solo dos) . En cambio,
para determinar un plano son necesarios tres.
Para
ver estos conceptos más
gráficamente se puede observar que si
se agarra un palo ""recto"" en
un solo punto, el palo se balancea, mientras
que si se toman dos, este queda fijo. Igualmente,
se puede ver al agarrar una hoja de cartón
desde uno o dos puntos (entonces se balancea
como la recta) y que se fija si la agarramos
en tres puntos.
Además, la recta es intuitivamente
una figura plana así como una figura
recta, si dos puntos de una recta están
en un plano, toda la recta está en el
plano y si dos puntos de una recta están
en una recta, las rectas coinciden (son las
mismas).
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| Ordenación
en la recta |
Estos axiomas nos ayudan a que la recta quede determinada como lo que
conocemos como recta (o mejor dicho como nuestro ideal de recta)(tengase
en cuenta que nunca la definimos).
Si selecciónamos dos puntos
distintos en una recta, habrá un punto
entre medio.
Si seleccionamos un punto cualquiera en una
recta: el resto de los puntos de la recta quedan
divididos en dos clases (los que están de un
lado y los que están del otro).
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| Continuidad |
Tambíen es valido lo inverso de lo que se acaba de decir. O sea
que si existen dos clases en una recta (los que están de un lado
y los que están del otro), existe un punto que las divide. |
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| División
del plano |
Una recta, divide a los puntos del plano en dos
categorías (los
que están de un lado y los que están del otro) |
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| Movimiento y
congruencia (o igualdad) |
En este se trabaja la idea de movimiento (como dar vuelta una caja, girarla,
etc.) Pero solo se estudiaran como movimientos, aquellos que no alteren
la ""forma"" del objeto (por lo que abrir una
caja no se considera un movimiento).
Solo existe un moviento que transforma
una semirrecta en otra y un semiplano determinado
por la misma en otro determinado por la otra.
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| DEFINICIONES |
Se puede ver que en los anteriores
axiomas todo es aceptable, excepto el detalle (importante)
de que no dijimos que es una semirrecta, que es
un semiplano y que es un movimiento (o sea, omitimos
hasta ahora definir estos conceptos).
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| Semirrecta |
Una
semirrecta, es el conjunto de todos los puntos de una recta que están a un lado de un punto de esta. Para determinarla se espesificará la recta en cuestión, el punto que la divide y un punto del lado elegido. (tener en cuenta que el punto que divide a la recta pertenece a la semirrecta en cuestión) |
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| Semiplano |
Un
semiplano, analogo a la semirrecta, es el conjunto
de puntos del plano
que están a un lado de una recta. Para determinarlo
se especifica el plano en cuestión, la recta
que lo divide y un punto del lado elegido. (tener en
cuenta que la recta que divide al plano pertenece al
semiplano en cuestión) |
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| Movimiento |
La
definición
de un movimiento es más complicada que las anteriores,
pero se hace más clara cuando se avanza en el
estudio de los mismos. Aquí diremos simplemente
que se trata de transformaciones que transforman figuras
(puntos, rectas, planos, semiplanos, etc) en otros
de la misma clase, a estos últimos se los llama ""homólogos
de los primeros en la transformación"".
Hay que tener en cuenta que los mismos, transforman
un punto que pertenece a una recta, en otro punto que
pertenece a la recta homóloga. Esto se puede
ver, cuando se piensa que si movemos una caja, que
tiene un dibujo, el mismo seguirá en la caja
al terminar de moverlo. |
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| TEOREMAS |
Teniendo en cuenta los axiomas precedentes podemos demostrar una vasta cantidad
de teoremas.
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Podemos afirmar por ejemplo que entre
dos puntos de una recta existen infinitos puntos
(fijesé que
eso no lo habíamos dicho), y para demostrarlo,
alcanza con aplicar el axioma que nos indica que
hay un punto entre ambos repetidas veces (primero
entre
los dos puntos dados y luego entre uno de los puntos
dados
y el punto indicado en el axioma, etc.)
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También podemos afirmar que
una recta cualquiera y un punto fuera de ella, determinan
un plano (que contiene a la recta y al punto simultaneamente).
La demostración se basa en observar que la
recta está determinada por dos puntos (cualesquiera)
de ésta, los tres puntos (el que teníamos
y los de la recta) determinan un plano, que contiene
al punto y a la recta (ya que la recta tiene dos
puntos en el plano).
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Como un ejemplo más complejo,
podemos afirmár
que dada una recta en un plano, existen infinitos puntos del plano que
no pertenecen a la recta. Esto parece obvio, pero
demostrarlo es complicado, primero, vemos
que existe un punto dentro del plano y fuera de la recta (por el axioma
que nos dice que la recta es un conjunto parcial
de puntos), para demostrar que
los puntos son infinitos, vemos que entre ese punto fuera de la recta
y un punto cualquiera de la recta, hay infinitos
puntos (recurriendo al primer teorema
que enunciamos) y estos deben estar fuera de la recta (ya que si tubieran
otro punto común las dos rectas coincidirían
y eso es una contradicción,
ya que aclaramos que el punto fuera de la recta estaba fuera de la recta)).
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