| geometría - Definición y clases |
La geometría es una parte de la matematica que trata de estudiar unas idealizaciones del espacio en que vivimos, que son los puntos, las rectas y los planos, y otros elementos conceptuales derivados de ellos, como poligonos o poliedros.
En la practica, la geometría sirve para solucionar problemas concretos en el mundo de lo visible. Entre sus utilidades se encuentran la justificación teorica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo, sistema de posicionamiento global. También es la que nos permite medir areas y volumenes, es útil en la preparación de diseños, e incluso en la fabricación de artesanías. La geometria clásica o axiomática es una matemática en la cuál los objetos, en vez de ser números, son puntos, rectas, planos y otras figuras definidas en función de estas.
| | FIGURAS GEOMETRICAS |
El avance de la geometría depende fuertemente del avance en las definiciones, las propiedades de los triangulos son posibles de enunciar sin hacer referencia a estos, pero sería un proceso largo tedioso e inútil.
Figuras fundamentales: Punto, Recta y Plano.
En la recta se pueden ver: Segmentos, semirectas y vectores
En el plano, una recta determina dos semiplanos, su intersección determina las figuras convexas: faja, Ángulo, Triángulo, cuadrángulo y Polígono.
Utilizando el concepto de distancia: se definen: el círculo y la esfera.
Utilizando el concepto de semiespacio se definen: el diedro, el espacio prismático, el triedro, el ángulo poliedro, y los poliedros. Entre los últimos encontramos como casos particulares: el tetraedro, el prisma, la pirámide y el paralelepipedo.
El concepto de círculo en el espacio da origen a: el cono y el cilindro
| RELACIONES Y PROPIEDADES |
Entre dos o más figuras puede haber relaciones diferentes, dos rectas pueden ser paralelas, perpendiculares o oblicuas (se cortan en un punto formando angulos no rectos).
En el espacio, también pueden ser alabeadas (o cruzadas). Uno de los conceptos más importantes dentro de la geometría es el de congruencia o igualdad.
| CLASES DE GEOMETRIAS |
Teniendo en cuenta más axiomas se obtienen otras geometrías (en las cuales todo lo dicho hasta aquí es válido). Si damos por cierto el axioma del paralelismo de Euclides, obtenemos la Geometría euclidiana también conocida como geometría plana.
Agregando a estos los axiomas relativos al espacio, obtenemos la geometría espacial (estos últimos no son más que extensiones de los axiomas relativos al plano). La Geometría descriptiva, es la que se encarga de que los problemas posibilitar la resolución de los problemas de la geometría del espacio por medio de operaciones efectuadas en un plano. Si agregamos otros axiomas, ya sean diferentes postulados de paralelismo o de existencia de conjuntos de puntos mayores que el plano (y menores que el espacio) se obtienen las geometrías no euclídeas Útilizando los conocimientos de otras areas (y por lo tanto sus axiomas respectivos), se obtienen: la Geometría analítica, los métodos del álgebra y del análisis matemático.
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| fórmulas geométricas | | AREA | | cuadrado | = a2 | | rectángulo | = a * b | | paralelogramo | = b * h | | trapezoide | = (h/2) (b1 + b2) | | círculo | = pi * r2 | | elipse | = pi * r1 * r2 | | triángulo | = (1/2) b* h | | triángulo cuando se sabe SAS | = (1/2) a * b sen C | | triángulo cuando se sabe a,b,c | = [s(s-a)(s-b)(s-c)] cuando s = (a+b+c)/2 (fórmula de Herón) | | polígono regular | (1/2) n sen(360°/n) S2
cuando n = # de lados y S = la largura desde el centro a un punto |
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| VOLUMEN | | cubo | = a3 | | prisma rectangular | = a * b * c | | prisma irregular | = b * h | | cilindro | = b * h = pi * r2 * h | | pirámide | = (1/3) b * h | | cono | = (1/3) b * h
= (1/3) pi * r2 * h | | esfera | = (4/3) pi * r3 | | elipsoide | = (4/3) pi * r1 r2 r3 |
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| AREA DE SUPERFICIE | | cubo | = 6 * a2 | | prisma | (área lateral) = perímetro (b) L
(área total) = perímetro(b) L + 2b | | esfera | = 4 pi r2 |
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| CIRCULO | | arco | línea curva que es un parte de la circunferencia de un círculo. | | cuerda | segmento de línea que está en contacto con dos puntos del círculo. | | circunferencia | distancia alrededor de un círculo | | diámetro | distancia mas larga desde un cabo de un círculo hacía el otro
= 2 x radio del círculo | | origen | centro del círculo | | pi | número, 3.141592..., igual a (la circunferencia) / (el diámetro) de un círculo | | radio | distancia desde el centro de un círculo hacía cualquier punto en él | | sector | es como una rebanada de pastel (una cuña de círculo) | | tangente | línea, perpendicular al radio, que toca en solamente un punto al círculo | | área | PI * r2 |
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| método |
La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición, entonces es necesario un método riguroso (que no permita deslices). Para conseguirlo, se diferencian tres tipos de enunciados: los axiomas, las definiciones y los teoremas.
| | AXIOMAS | Los axiomas son proposiciones, o afirmaciones, que relacionan conceptos. Excepto el punto, la recta y el plano, todo otro concepto que se enuncie debe ser definido en función de los primeros. Nótese que éstos sólo afirman cosas terriblemente obvias. Para facilitar su estudio se distinguen cinco grupos de axiomas:
| | Existencia, e Incidencia. | Son aquellos que nos aseguran las condiciones de existencia de los puntos, rectas y planos. (sin estos no podríamos empezar a trabajar) y tambíen nos indican cómo inciden unos conceptos en los otros. Existen infinitos puntos, existen infinitos planos (que son conjuntos parciales e infinitos de puntos), también existen infinitas rectas (que también son conjuntos parciales e infinitos de puntos de un plano).
Para determinar una recta, son necesarios dos puntos (y solo dos) . En cambio, para determinar un plano son necesarios tres.
Para ver estos conceptos más gráficamente se puede observar que si se agarra un palo ""recto"" en un solo punto, el palo se balancea, mientras que si se toman dos, este queda fijo. Igualmente, se puede ver al agarrar una hoja de cartón desde uno o dos puntos (entonces se balancea como la recta) y que se fija si la agarramos en tres puntos.
Además, la recta es intuitivamente una figura plana así como una figura recta, si dos puntos de una recta están en un plano, toda la recta está en el plano y si dos puntos de una recta están en una recta, las rectas coinciden (son las mismas). |
| | Ordenación en la recta | Estos axiomas nos ayudan a que la recta quede determinada como lo que conocemos como recta (o mejor dicho como nuestro ideal de recta)(tengase en cuenta que nunca la definimos).
Si selecciónamos dos puntos distintos en una recta, habrá un punto entre medio.
Si seleccionamos un punto cualquiera en una recta: el resto de los puntos de la recta quedan divididos en dos clases (los que están de un lado y los que están del otro). |
| | Continuidad | Tambíen es valido lo inverso de lo que se acaba de decir. O sea que si existen dos clases en una recta (los que están de un lado y los que están del otro), existe un punto que las divide. |
| | División del plano | Una recta, divide a los puntos del plano en dos categorías (los que están de un lado y los que están del otro) |
| | Movimiento y congruencia (o igualdad) | En este se trabaja la idea de movimiento (como dar vuelta una caja, girarla, etc.) Pero solo se estudiaran como movimientos, aquellos que no alteren la ""forma"" del objeto (por lo que abrir una caja no se considera un movimiento).
Solo existe un moviento que transforma una semirrecta en otra y un semiplano determinado por la misma en otro determinado por la otra. |
| | DEFINICIONES |
Se puede ver que en los anteriores axiomas todo es aceptable, excepto el detalle (importante) de que no dijimos que es una semirrecta, que es un semiplano y que es un movimiento (o sea, omitimos hasta ahora definir estos conceptos).
| | Semirrecta | Una semirrecta, es el conjunto de todos los puntos de una recta que están a un lado de un punto de esta. Para determinarla se espesificará la recta en cuestión, el punto que la divide y un punto del lado elegido. (tener en cuenta que el punto que divide a la recta pertenece a la semirrecta en cuestión) |
| | Semiplano | Un semiplano, analogo a la semirrecta, es el conjunto de puntos del plano que están a un lado de una recta. Para determinarlo se especifica el plano en cuestión, la recta que lo divide y un punto del lado elegido. (tener en cuenta que la recta que divide al plano pertenece al semiplano en cuestión) |
| | Movimiento | La definición de un movimiento es más complicada que las anteriores, pero se hace más clara cuando se avanza en el estudio de los mismos. Aquí diremos simplemente que se trata de transformaciones que transforman figuras (puntos, rectas, planos, semiplanos, etc) en otros de la misma clase, a estos últimos se los llama ""homólogos de los primeros en la transformación"". Hay que tener en cuenta que los mismos, transforman un punto que pertenece a una recta, en otro punto que pertenece a la recta homóloga. Esto se puede ver, cuando se piensa que si movemos una caja, que tiene un dibujo, el mismo seguirá en la caja al terminar de moverlo. |
| | TEOREMAS |
Teniendo en cuenta los axiomas precedentes podemos demostrar una vasta cantidad de teoremas.
Podemos afirmar por ejemplo que entre dos puntos de una recta existen infinitos puntos (fijesé que eso no lo habíamos dicho), y para demostrarlo, alcanza con aplicar el axioma que nos indica que hay un punto entre ambos repetidas veces (primero entre los dos puntos dados y luego entre uno de los puntos dados y el punto indicado en el axioma, etc.)
También podemos afirmar que una recta cualquiera y un punto fuera de ella, determinan un plano (que contiene a la recta y al punto simultaneamente). La demostración se basa en observar que la recta está determinada por dos puntos (cualesquiera) de ésta, los tres puntos (el que teníamos y los de la recta) determinan un plano, que contiene al punto y a la recta (ya que la recta tiene dos puntos en el plano).
Como un ejemplo más complejo, podemos afirmár que dada una recta en un plano, existen infinitos puntos del plano que no pertenecen a la recta. Esto parece obvio, pero demostrarlo es complicado, primero, vemos que existe un punto dentro del plano y fuera de la recta (por el axioma que nos dice que la recta es un conjunto parcial de puntos), para demostrar que los puntos son infinitos, vemos que entre ese punto fuera de la recta y un punto cualquiera de la recta, hay infinitos puntos (recurriendo al primer teorema que enunciamos) y estos deben estar fuera de la recta (ya que si tubieran otro punto común las dos rectas coincidirían y eso es una contradicción, ya que aclaramos que el punto fuera de la recta estaba fuera de la recta)).
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Matemáticas